Aire maximale sous une courbe - Activité

Soit `f` la fonction définie sur \([0~;2]\) par `f(x)=(x-2)^2` . Sa courbe représentative `\mathcal{C}` est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal d'origine `\text{O}` .

À tout point `\text{M}` de la courbe  `\mathcal{C}` , on associe le rectangle `\text{OAMB}` où \(\text{A}\)  appartient à l'axe des abscisses et `\text{B}` appartient à l'axe des ordonnées.

1. À l'aide de la figure GeoGebra (perle « Fichier GeoGebra »), conjecturer les coordonnées du point  \(\text{M}\)  pour lequel l'aire du rectangle  \(\text{OAMB}\)  est maximale.

On note `x` l'abscisse du point `\text{M}` et `a` la fonction qui à `x` associe l'aire du rectangle `\text{OAMB}` .

2. Démontrer que, pour tout réel `x`  de l'intervalle \([0~;2]\) , `a(x)=x^3-4x^2+4x` .

3. a. Déterminer la fonction dérivée de la fonction  `a` .

    b. Utiliser l'outil « Calcul formel » de GeoGebra (perle « Calcul formel ») afin d'obtenir une forme factorisée de  \(a'(x)\) . Pour cela, écrire dans la ligne de saisie en haut à gauche « Factoriser ( ... ) » en écrivant entre les parenthèses l'expression développée de  \(a'(x)\)  obtenue dans la question 3. a puis cliquer sur « Entrée ».

4. En déduire les coordonnées du point `\text{M}`  pour lequel l'aire du rectangle `\text{OAMB}`  est maximale.